ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΒΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ  ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

Η παρακάτω διαδικασία ακολουθείται σε                         

ασκήσεις που είτε μας ζητούν να 

προσδιορίσουμε πρόσημο τριωνύμου, 

είτε για να λύσουμε μια δευτέρου βαθμού 

ανίσωση.

Για τον υπολογισμό προσήμου πρέπει να 

θυμόμαστε την γενική μορφή του τριωνύμου 

η οποία είναι η παρακάτω: αx²+βx+γ

Στον προσδιορισμό του α,β,γ πρέπει να προσέχουμε τις εξής περιπτώσεις:

• όταν έχουμε ένα τριώνυμο  x²+2x+8 το α=1
• όταν έχουμε ένα τριώνυμο x²+10 το β=0
• όταν έχουμε ένα τριώνυμο x²+5x το γ=0

Εφόσον προσδιορίσουμε με προσοχή τους συντελεστές του τριωνύμου, λύνουμε το τριώνυμο που μας δίνεται όπως ακριβώς αντιμετωπίζαμε τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού, χρησιμοποιώντας δηλαδή την γνωστή και αγαπημένη σε όλους μας από την Γ' γυμνασίου Διακρίνουσα!

Δ=β²-4αγ

Ανάλογα με το αποτέλεσμα της θα έχουμε τις παρακάτω 3 περιπτώσεις.

1. Εάν Δ>0 θα έχουμε 2 ρίζες πραγματικές και άνισες. που θα υπολογίζονται από τον παρακάτω              τύπο:

Τότε θα δημιουργήσουμε έναν πίνακα προσήμων ο οποίος θα έχει την παρακάτω μορφή:

Εντός των ριζών που βρήκαμε από την λύση της εξίσωσης θα σημειώσουμε πρόσημο αντίθετο από το πρόσημο του α (δηλαδή του συντελεστή του x²)    

Εκτός των ριζών θα βάλουμε πρόσημο ομόσημο (ίδιο) με το πρόσημο του α. 

Εάν η άσκηση μας ζητάει να βρούμε πρόσημο τριωνύμου η άσκηση τελειώνει με τα πρόσημα που θα βάλουμε στον πίνακα.

Εάν έχουμε να λύσουμε 2ου βαθμού ανίσωση σημειώνουμε τα πρόσημα στον πίνακα και κοιτάζουμε το σύμβολο που έχουμε στην ανίσωση (μικρότερο ή μεγαλύτερο του μηδενός) και σημειώνουμε το διάστημα στο οποίο ικανοποιείται η ανίσωση.

π.χ. Εάν μας δώσουν αx²+βx+γ>0 και στον πίνακα βρούμε ότι ανάμεσα στις ρίζες το τριώνυμο λαμβάνει θετικό πρόσημο τότε γράφουμε xϵ(x₁,x₂₎

2.Εάν η Δ=0 τότε θα βρούμε μια ρίζα η οποία προκύπτει από τον παρακάτω τύπο:

τότε ο πίνακας προσήμων θα έχει την παρακάτω μορφή:

και τα πρόσημα που θα βάλουμε δεξιά και αριστερά της ρίζας που υπολογίσαμε παραπάνω εξαρτώνται από το πρόσημο του α. Και δεξιά και αριστερά του x βάζουμε το πρόσημο που έχει ο συντελεστής α. Εάν έχει θετικό πρόσημο βάζουμε +, εάν έχει αρνητικό βάζουμε -.

                                                                     
3. Τέλος εάν Δ<0 τότε δεν μπορούμε να υπολογίσουμε κάποια ρίζα και ο πίνακας έχει την μορφή:

σε όλο το εύρος του πίνακα θα βάλουμε το πρόσημο που έχει ο α.

ΓΕΝΙΚΆ εάν δεν μπορούμε να συγκρατήσουμε τους παραπάνω κανόνες μπορούμε εφόσον βρούμε την διακρίνουσα τις ρίζες (εάν έχει) και σχεδιάσουμε τον πίνακα να βάλουμε τα κατάλληλα πρόσημα στα πλαίσια που έχουμε δημιουργήσει με πολύ πιο απλό τρόπο.

Για την 1η περίπτωση που αναφέραμε επάνω μπορούμε να κοιτάξουμε το πρώτο διάστημα από το άπειρο έως την μικρότερη ρίζα και να διαλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό από το διάστημα, να τον τοποθετήσουμε στο τριώνυμο στην θέση του x και να κάνουμε τις πράξεις. Εάν το αποτέλεσμα βγει θετικό τότε οποιονδήποτε άλλο αριθμό και να πάρουμε από αυτό το διάστημα και τον αντικαταστήσουμε στο x θα προκύψει αποτέλεσμα επίσης θετικό. Άρα στο πρώτο πλαίσιο θα βάλουμε το πρόσημο +. Εκτελούμε ακριβώς την ίδια διαδικασία και για τα υπόλοιπα διαστήματα και έχουμε καταφέρει να δημιουργήσουμε τον πίνακα προσήμων. Οι πίνακες για τις δύο άλλες περιπτώσεις που αναφέραμε συμπληρώνονται ακριβώς με την ίδια διαδικασία.

                                                                                                                             Βαλσαμάκη